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2.2 La derivada

Como has comprobado, todo este procedimiento es laborioso, sobre todo si la ecuación del movimiento es un poco más complicada o simplemente incluye funciones trigonométricas o logarítmicas que llegado el caso podrían darse en algún movimiento.

Esta operación de calcular un límite de un cociente cuando el denominador tiende a cero, tiene un nombre matemático: la derivada. Lo que hemos estado haciendo ha sido calcular la derivada de la función S = 2t2 para el instante t = 3 s.

Hay unas reglas de derivación que permiten hacer el cálculo de cualquier derivada por complicada o larga que sea.

En estos términos, la primera ecuación anterior puede ser rescrita del siguiente modo:

Así, conocida la ecuación del movimiento en la forma vectorial podemos obtener con facilidad la velocidad en cada instante sin más que derivar respecto al tiempo. Las componentes del vector velocidad serán:

 

 y por lo tanto es fácil de deducir que

 

Como se ha podido ver, conforme el intervalo de tiempo se ha ido haciendo cada vez más pequeño para hacerlo tender a cero, el vector desplazamiento se ha ido haciendo cada vez más pequeño, y sobre todo, se ha convertido en tangente a la trayectoria en los ‘alrededores infinitesimales’ del punto móvil. Puesto que la velocidad (vector) se ha obtenido dividiendo ese vector entre ‘un número infinitesimal’, el vector velocidad también será un vector tangente a la trayectoria en el punto considerado. Por ello, con frecuencia, el vector velocidad se suele expresar con ayuda de un vector unitario tangente a la trayectoria. 

Como se ha podido ver, conforme el intervalo de tiempo se ha ido haciendo cada vez más pequeño para hacerlo tender a cero, el vector desplazamiento se ha ido haciendo cada vez más pequeño, y sobre todo, se ha convertido en tangente a la trayectoria en los ‘alrededores infinitesimales’ del punto móvil. Puesto que la velocidad (vector) se ha obtenido dividiendo ese vector entre ‘un número infinitesimal’, el vector velocidad también será un vector tangente a la trayectoria en el punto considerado. Por ello, con frecuencia, el vector velocidad se suele expresar con ayuda de un vector unitario tangente a la trayectoria.