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8.2 Descripción matemática de un MAS

Ecuación de posición

La ecuación de la elongación o ecuación de la posición o ecuación del movimiento (x ó y) de una partícula que describe un MAS, viene dada por:

donde

  • A es la amplitud del movimiento es decir, el máximo desplazamiento de la partícula de su posición de equilibrio. Se expresa en metros (m) en el SI.
  • ω es la frecuencia angular del movimiento. Se expresa en rad·s-1 en el SI.

A la expresión (ω·t + φ0) se conoce como FASE del movimiento, y es un ángulo medido en radianes en el SI. A φ0 se le denomina FASE INICIAL, y es el valor de la fase en el instante t = 0. El valor de la fase inicial depende de las condiciones iniciales del movimiento, es decir, de la posición y de la velocidad de la partícula en el instante inicial. Así:

  • Si x (t = 0) = 0, es decir, si en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, la ecuación del movimiento será una de estas dos:

 La primera ecuación indicaría que la partícula se encuentra inicialmente en la posición de equilibrio y moviéndose hacia la parte positiva de la trayectoria (velocidad inicial positiva), y la segunda que se mueve hacia la parte negativa de la trayectoria (velocidad inicial negativa).

  • Si x (t = 0) = A, es decir, si en el instante inicial la partícula se encuentra en el extremo positivo de la trayectoria, la ecuación será:

  • Si x (t = 0) = -A, es decir, si en el instante inicial la partícula se encuentra en el extremo negativo de la trayectoria, la ecuación será:

 

  • Observaciones a la ecuación de la posición.

La ecuación de posición también se puede expresar con la función coseno, pero, la fase inicial de la función seno es diferente de la de la función coseno para describir la misma situación inicial.

Velocidad de vibración.

 La ecuación de la velocidad se determina derivando la posición con respecto al tiempo. 

 

  • Observaciones a la ecuación de la velocidad
    • El valor máximo de la velocidad es A·ω, y se alcanza en aquellos instantes de tiempo para los que cos (ω·t + φ0) = ±1.
    • La velocidad alcanza su valor máximo cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio, x = 0.

 Aceleración de la vibración.

 La ecuación de la aceleración se determina derivando la velocidad con respecto al tiempo.

  • Observaciones a la ecuación de la aceleración
    • El valor máximo de la aceleración es A·ω2, y se alcanza en aquellos instantes de tiempo para los que sen (ω·t + φ0) = ±1.
    • La aceleración máxima se alcanza en los extremos de la trayectoria.
    • Se puede comprobar fácilmente que la aceleración de un MAS es directamente proporcional a la posición pero de signo contrario:

a(t) = - ω2·x(t)

Gráficas de la elongación (x), velocidad (v) y aceleración (a)

Podemos construir una tabla de valores y representar gráficamente la posición, velocidad y aceleración para una partícula con MAS. Se ha considerado el caso en el que el oscilador inicia el movimiento en la posición de equilibrio con velocidad positiva, es decir φ0 = 0.